[한 걸음씩 알아가는 선형대수학] 1.1 연립일차방정식

챕터1. 일차방정식과 행렬

 

방정식은 등호를 기준으로 좌우에 있는 2개의 수학적 표현이 동일함을 나타낸다.

일차방정식은 x, y, z와 같은 변수에 대하여 모든 변수의 지수가 1 또는 0인 방정식이다.

일차방정직의 집합을 연립일차방정식(linear system)이라 한다.

$$ x + 2y + z = 5 $$

 

연립일차방정식에 대한 질문은 다음과 같다.

• 어떤 해가 존재하는가
• 연립일차방정식은 해가 없거나, 해가 유일하거나, 해가 무수히 많은 경우로 나뉘는가(해의 유형)
• 해가 존재한다면, 어떻게 모든 해를 찾을 수 있는가
• 해는 어떤 구조로 이루어져 있는가

 

2차원 직선과 3차원 평면을 일차방정식이라 부르고, 이런 방정식을 연구하는 수학 분야를 선형 대수학(linear algebra)이라고 한다.

 

1. 어떤 해가 존재하는가

연립일차방정식을 대수적으로 풀어 해를 구한다면 소거법을 이용해 해를 구할 수 있다.

이 때 다음과 같은 작업을 연립일차방정식에 수행할 수 있다.

• 두 방정식의 위치를 바꾼다.
• 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.
• 한 방정식에서 다른 방정식을 빼거나 더한다.

 

2. 해의 유형

연립일차방정식은 해가 없는(no solution) 경우, 해가 무수히 많은(infinite number of solutions) 경우, 그리고 해가 유일한 경우로 나뉜다.

 

a. 해가 없는 경우 = 두 그래프의 직선이 평행하므로 교점이 없는 경우

b. 해가 무수히 많은 경우 = 두 그래프의 직선이 정확히 같을 경우 = 직선 위의 모든 점이 교점이 되는 경우

c. 해가 유일한 경우 = 두 그래프의 직선이 한 점에서 만날 경우 

 

미지수가 3개인 연립일차방정식의 경우는 아래와 같다.

 

a. 해가 없는 경우 = 3개의 평면이 교점을 갖지 않음

b. 해가 무수히 많은 경우 = 3개의 평면 사이에 교선이 있음

c. 해가 유일한 경우 = 3개의 평면 사이의 교점이 단 1개 있음

 

[연습문제]

1. 일차방정식이 아닌 방정식 찾고, 그 이유 설명하기.

 

• $\sqrt{x} + y + z = 6$
  •  $x$의 차수가 정수 1이 아닌 $\frac{1}{2}$임
• $\cos x + \sin y = 1$
  • 삼각함수는 선형(Linear) 함수가 아님
• $e^{x + y + z} = 1$
  • 미지수 $x$가 지수(exponent) 위치에 있는 함수는 일차방정식이 아님
• $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
  • 이 공식은 이미 $x$가 무엇인지 정의하고 있기 때문에 계산식일 뿐이지, 방정식이 아님
• $sinh^{-1}x = \ln|x + \sqrt{x^2+1}|$
  • $\sinh^{-1}x$는 쌍곡선 사인 함수($\sinh x$)의 역함수 = 비선형함수
  • 로그 함수($\ln$) = 비선형함수

몰랐던 것

• $y^{cos^{2}x + sin^2x} + x -z=0$ 는 일차방정식이다.
  • $\mathbf{\cos^2 x + \sin^2 x = 1}$ 는 피타고라스 항등식. 즉, x가 어떤 각도여도 성립한다.