[개발자를 위한 실전 선형대수학] 2.1 벡터 집합, 2.2 선형 가중 결합, 2.3 선형 독립성

[chapter 2] 벡터, 파트2 : 벡터의 확장 개념

1. 벡터 집합

벡터들의 모음을 집합(set)이라고 한다.

수학적으로는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$  V = \begin{Bmatrix} V_{1}, \cdots , V_{n}\end{Bmatrix} $$

벡터 집합은 유한 또는 무한한 수의 벡터를 가질 수 있다.

2. 선형 가중 결합

선형 가중 결합(linera weighted combination)은 여러 변수마다 가중치를 다르게 주어 정보를 혼합하는 방법이다.

선형 혼합(linear mixture), 가중 결합(weighted combination)이라고도 한다.

선형 가중 결합은 벡터 집합에서 각 벡터에 스칼라를 곱한 다음 이들을 더해 하나의 벡터를 만든다.

식 2-1

$$ w = \lambda _{1}V_{1} + \lambda _{1}V_{2} + \cdots + \lambda _nV_{n} $$

여기서 모든 벡터의 차원은 같다고 가정하고, 람다는 0을 포함한 임의의 실수가 될 수 있다.

식 2-2

$$\lambda _1 = 1, \lambda_2 = 2,\lambda_3 = -3, V_1= \begin{bmatrix}4 \\5 \\1\end{bmatrix}, V_2=\begin{bmatrix}-4 \\0 \\-4\end{bmatrix}, V_3=\begin{bmatrix}1 \\3 \\2\end{bmatrix} $$

$$ w = \lambda _{1}V_{1} + \lambda _{1}V_{2} + \lambda_3V_3 =  \begin{bmatrix}-7 \\-4 \\-13\end{bmatrix} $$

이 식 2-2를 파이썬으로 풀어보면 아래와 같다.

l1 = 1
l2 = 2
l3 = -3
v1 = np.array([4,5,1])
v2 = np.array([-4,0,-4])
v3 = np.array([1,3,2])
print(l1*v1 + l2*v2 + l3*v3) # [ -7  -4 -13]

3. 선형 독립성

벡터 집합에서 적어도 하나의 벡터를 집합의 다른 벡터들의 선형 가중 결합으로 나타낼 수 있을 때 벡터 집합을 선형 종속적(linearly dependent)라고 한다.

반대로 집합에 있는 벡터들의 선형 가중 결합으로 집합의 아무런 벡터도 나타낼 수 없다면 해당 벡터 집합은 선형 독립적(linearly independent)이다.

즉, $V_1 = \lambda V_2$인 스칼라 $ \lambda$가 존재하면 선형 종속적, 존재하지 않으면 선형 독립적이다.

$$ V = \begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\3\end{bmatrix}, & \begin{bmatrix}2 \\7\end{bmatrix} \\\end{Bmatrix} S = \begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\3\end{bmatrix}, & \begin{bmatrix}2 \\6\end{bmatrix} \\\end{Bmatrix}$$

위 식에서 벡터 집합 V는 선형 독립적이고, 벡터 집합 S는 선형 종속적이다.

S의 결합은 $s_1 = .5*s_2$와 $s_2 = 2*s_1$가 있으며, 이러한 결합은 무한히 존재한다.

 

수학에서의 선형 독립성

식 2-3

$$ 0 = \lambda _1V_1 + \lambda_2V_2 + \cdots + \lambda _nV_n, \lambda \in \mathbb{R} $$

이 식의 의미는 선형 종속적이라면 집합의 벡터들의 선형 가중 결합으로 영벡터를 만들 수 있다는 것이다.

식을 참으로 만드는 $\lambda$를 찾을 수 있다면 벡터 집합은 선형 종속적이고, 반대는 선형 독립적이다.

🤔이해해보기 with ChatGPT

위 식은 "벡터 V1,V2,…,Vn​$ 을 적당히 섞어서(가중합) 0 벡터를 만들 수 있는가?"를 묻는 식이다.

• 섞어서 0을 만들 수 있다 = 전부 0은 아닌 어떤 $\lambda_i$ 조합을 찾을 수 있다 = 선형 종속
• 0도 만들 수 없다 = 즉 $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0$ 말고는 어떤 방법으로 섞어도 0이 안됨 = 선형 독립

그럼 람다가 모두 0이면 영벡터가 되는데?가 궁금했다.

여기서 람다가 모두 0인 경우는 '너무 당연한 해'이기 때문에, 벡터 집합이 종속인지 독립인지 구분할 수 없게 된다.

즉, $\lambda_1$이 0이 아니며 자명하지 않은 해(nontrivial solution)가 존재한다면 그 집합은 선형 종속성의 정의에 부합한다고 할 수 있다.