[개발자를 위한 실전 선형대수학] 2.4 부분공간과 생성, 2.5 기저

[chapter 2] 벡터, 파트2 : 벡터의 확장 개념

1. 부분공간과 생성

(유한한) 벡터 집합의 동일한 벡터들을 사용하지만 다른 가중치 숫자를 사용해서 무한히 선형 결합하는 방식으로 벡터 부분공간을 만드는데, 가능한 모든 선형 가중 결합을 구성하는 매커니즘을 벡터 집합의 생성(span)이라고 한다.

예를 들어 아래 같은 벡터 집합이 있다고 하면,

$$  V=\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}\end{Bmatrix} $$

이 벡터 집합의 생성은 집합의 벡터들의 선형 결합으로 만들 수 있는 무한한 벡터들이다.

https://angeloyeo.github.io/2020/11/17/four_fundamental_subspaces.html

이미지에서 왼쪽의 그래프를 보면, 검은색이 V고, 파란선이 부분공간이다.

🤔궁금했던 점 with ChatGPT

오른쪽 내용 '두 벡터의 덧셈 및 스칼라 곱셈이 직선 밖에 존재하므로 벡터 공간 $R^2$의 부분공간이 아님'은 무슨말일까?

부분공간이 되려면 반드시 원점을 포함해야 한다. 아래는 부분공간이 되기 위해 반드시 충족해야 하는 조건이다.

• 0벡터(원점)을 포함해야 한다
• 덧셈에 대해 닫혀있어야 한다.(집합 안의 두 벡터를 더해도 그 결과가 여전히 집합 안에 있어야 한다.)
• 스칼라 곱에 대해 닫혀 있어야 한다.(집합 안의 벡터를 아무 스칼라와 곱해도 여전히 집합 안에 있어야 한다.)

원점을 포함하지 않으면 이미 1번 조건을 충족하지 않게 된다. 2, 3번 조건도 살펴보자.

예를 들어 아래처럼 원점을 지나지 않는 직선이 있다고 하자.

$$ L = \begin{Bmatrix} (x,y)| y = x+1\end{Bmatrix}$$

직선 위의 두 벡터 (1, 2)와 (2, 3)을 더하면 (3, 5)가 되는데, 이 점은 위 직선 위에 있지 않다.(5 = 3+1이 아니다.)

곱셈의 경우에도 직선 위의 두 벡터 (1, 2)를 스칼라배 해보면 (2, 4)가 되는데, 이 점도 직선 위에 있지 않다.(4 = 2+1이 아니다.)

즉, 부분공간은 늘 원점을 지나야 하고, 원점을 지나지 않는 직선은 덧셈/스칼라곱 결과가 그 직선 위에 남아 있지 않기 때문에 부분공간이 아니다.

 

다시 돌아가서, 위 [1, 3] 하나의 벡터만을 갖는 벡터 집합 V의 부분공간은 선이었다.

다음으로 $R^3$의 두 벡터를 가진 집합의 경우를 보자.

$$V=\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\0 \\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1 \\1 \\2\end{bmatrix}\end{Bmatrix}$$

벡터는 3차원 축에 그래픽으로 나타낼 수 있고, 생성되는 부분 공간은 3차원 공간에서 2차원 평면이다.

🤔왜 2차원 평면일까

2개의 벡터는 2개의 직선으로 나타낼 수 있고, 부분공간은 스칼라곱이나 덧셈으로 만들 수 있는 모든 선들을 의미한다.

즉, av1​+bv2 의 형태가 두 직선 사이에 무한히 존재하기 때문에 아래 이미지와 같이 면의 형태가 된다.

https://ekdud7667.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98-%EB%B2%A1%ED%84%B0%EA%B3%B5%EA%B0%84%EA%B3%BC-%EC%97%B4%EB%B2%A1%ED%84%B0

 

 

그러나 아래처럼

$$V= \begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\1 \\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2 \\2 \\2\end{bmatrix}\end{Bmatrix}$$

집합의 한 벡터가 이미 다른 벡터의 생성 안에 존재하면, 생성 측면에서 두 벡터 중 하나는 중복이기 때문에 부분공간은 여전히 1차원이 된다.

 

즉, 벡터 집합에서 생성되는 부분공간의 차원은 선형 독립 집합을 형성하는 데 필요한 최소한의 벡터 수이다.

벡터 집합이 선형 독립적이면 해당 집합의 벡터들로 생성된 부분공간의 차원은 집합의 벡터 수와 동일하다.

반대로 종속적이라면 해당 벡터들로 생성된 부분공간의 차원은 반드시 해당 집합의 벡터 수보다 작다.

2. 기저

기저(basis)는 행렬의 정보(예. 데이터)를 설명하는 데 사용하는 자(ruler)의 집합이다.

동일한 데이터를 다양한 자로 설명할 수 있지만 일부 자는 특정 문제를 푸는 데 다른 자보다 편리하다.

가장 일반적인 기저 집합은 데카르트 좌표계이다.(표준 기저 집합이라고도 한다.)

표준기저 S = { (1,0), (0,1) }가 있고, 다른 기저 T = { (3,1), (-3,1) }가 있다고 할 때, 데이터 점 p = (3, 1), q = (-6, 2)를 나타낸다고 하자.

기저 S에서 두 좌표는 p = (3, 1)이고 q = (-6, 2)인데, 여기서 점 p는 3s1+1s2 결합이고, 점 q는 -6s1 + 2s2 결합이다.

이 점들을 기저 T로 기술하면 p = (1, 0), q = (0, 2)가 되어 더 간결해진다.

여기서 어떤 기저 집합이 최적인지를 찾는 것은 어렵다. 분석 목표나 데이터의 특성, 제약 조건 등에 따라 특정 기저 집합이 해당 문제에 도움되거나 되지 않을 수 있기 때문이다.

기저의 정의

기저는 단순히 생성과 독립성을 결합한 것이라고 할 수 있다.

즉, 벡터 집합이 특정 부분공간을 생성하고, 독립적인 벡터 집합이라면 해당 부분공간의 기저이다.

기저가 어떤 부분공간의 기저가 되려면 해당 부분공간을 생성할 수 있어야한다. 

즉, 한 직선 위에 있지 않은 점이 있다면 그 직선 벡터는 그 점을 측정할 수 없다.

당연하게도, 생성하지 못하는 부분공간에 대해서는 기저벡터가 아니다.

또한 부분공간에 있는 모든 벡터는 그 기저를 이용한 고유한 좌표를 가져야 하기 때문에 기저 집합은 선형 독립적이다.

즉, 하나의 기저 집합 내에서 하나의 점은 정확히 하나의 선형 가중 결합으로 정의된다.